미적분학 30단계 · 27단계 · 급수 판정

27. 교대급수와 절대 수렴 (Alternating Series)

항의 부호가 $+$, $-$로 번갈아 나타나는 급수를 교대급수라고 합니다. 양항급수에서는 발산했던 급수도 부호가 바뀌면 수렴할 수 있습니다. 이 단계에서는 수렴의 질적인 차이인 절대 수렴과 조건부 수렴을 구분하는 법을 배웁니다.

1. 개념 기반 목표 지향 수업 지도안

수업 목표 1
교대급수 판정법(AST)의 두 가지 조건을 이해하고 적용한다.

수업 목표 2
절대 수렴과 조건부 수렴의 정의를 명확히 구분한다.

수업 목표 3
교대급수의 오차 추정 정리(Remainder)를 활용한다.

수업 목표 4
절대 수렴하는 급수의 항 재배열(Rearrangement) 성질을 이해한다.

수업 흐름

도입 : 조화급수 $\sum 1/n$은 발산하지만, 교대조화급수 $\sum (-1)^{n-1}/n$은 왜 수렴할까?
탐구 1 : 교대급수 판정법 (Leibniz Test) - 감소 수열과 극한값 0의 중요성.
탐구 2 : 절대 수렴 (Absolute Convergence) - $|\sum a_n|$이 수렴하면 원래 급수도 수렴한다는 정리.
정리 : 수렴의 분류 체계 확립 (절대 수렴 $\subset$ 수렴 / 수렴하지만 절대 수렴하지 않으면 조건부 수렴).
적용 : 비 판정법(Ratio Test)의 절대값 버전을 통한 수렴 구간 탐색 예비 단계.

2. 핵심 정리 및 판정법

개념 1. 교대급수 판정법 (Alternating Series Test, AST)

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$ ($b_n > 0$)이 다음 두 조건을 만족하면 수렴합니다.

$b_{n+1} \le b_n$ (모든 $n$에 대해 수열이 감소)
$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

개념 2. 절대 수렴과 조건부 수렴

$$\text{1. 절대 수렴: } \sum |a_n| \text{ 이 수렴할 때}$$ $$\text{2. 조건부 수렴: } \sum a_n \text{ 은 수렴하지만 } \sum |a_n| \text{ 은 발산할 때}$$

※ 절대 수렴은 수렴보다 훨씬 강력한 조건입니다. 절대 수렴하면 원래 급수도 반드시 수렴합니다.

개념 3. 교대급수의 오차 (Estimation)

수렴하는 교대급수의 합 $S$와 $n$번째 부분합 $S_n$ 사이의 오차 $|R_n|$은 다음과 같습니다.

$$|R_n| = |S - S_n| \le b_{n+1}$$

즉, 오차는 다음에 더해질 항의 절대값보다 작거나 같습니다.

3. 시각적 이해: 수렴의 방식

부분합의 진동과 수착

교대급수의 부분합은 극한값을 중심으로 좌우로 진동하며 점차 그 폭이 좁아져 수렴하는 형태를 띱니다.

4. 기초 5문항

1. 교대조화급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 의 수렴 여부를 말하시오.

정답 : 수렴 (AST 만족)

2. $\sum a_n$이 절대 수렴하면 $\sum a_n$은 반드시 수렴하는가?

정답 : 예

3. $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ 은 절대 수렴하는가?

정답 : 예 ($\sum \frac{1}{n^2}$이 수렴하므로)

4. AST 조건 중 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$이 만족되지 않으면 급수는 어떻게 되는가?

정답 : 발산 (일반항 판정법에 의해)

5. 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수를 무엇이라 부르는가?

정답 : 조건부 수렴 (Conditionally Convergent)

5. 응용 5문항

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \ln n}{n}$ 의 수렴 여부를 판정하시오.

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$는 $x > e$에서 감소하고 극한값이 0이므로 AST에 의해 수렴. 그러나 절대값은 발산하므로 조건부 수렴.

2. 교대급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n!}$ 을 소수점 셋째 자리까지 정확히 구하기 위해 몇 개의 항이 필요한가?

$|R_n| \le \frac{1}{(n+1)!} < 0.001$ 인 $n$을 찾음. $6! = 720$, $7! = 5040$이므로 $n=6$.

3. $\sum \frac{\cos n}{n^2}$ 의 절대 수렴 여부를 판정하시오.

$|\frac{\cos n}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}$. 비교 판정법에 의해 절대 수렴.

4. $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 의 수렴 및 절대 수렴 여부를 판정하시오.

정답 : 조건부 수렴

5. 다음 중 절대 수렴하는 것은? (a) $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, (b) $\sum \frac{(-2)^n}{n!}$, (c) $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}$

정답 : (b)

6. 심화 5문항

1. 리만 재배열 정리 (Riemann Rearrangement Theorem): 조건부 수렴하는 급수는 항의 순서를 적절히 바꾸어 임의의 실수 $L$로 수렴하게 만들 수 있음을 설명하시오.

2. 디리클레 판정법 (Dirichlet's Test): AST를 포함하는 더 일반적인 수렴 판정법의 정의를 서술하시오.

3. 절대 수렴하는 두 급수의 코시 곱(Cauchy Product)도 수렴하는지 논하시오.

4. $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)$ 의 수렴 여부를 판정하시오.

5. $\sum a_n$이 절대 수렴하면 $\sum \frac{a_n}{1+a_n}$ 도 절대 수렴하는지 증명하시오.