1번 — 지수법칙과 음의 지수

밑을 모두 \(2\)로 통일 → 지수법칙 적용 → 가장 간단한 꼴로 정리

주어진 문제

1. 식을 정확히 읽기

구하려는 값은 \[ 2^{\frac32}\times4^{-\frac12} \] 이다.

두 항의 밑이 서로 다르므로, 먼저 \(4\)를 \(2\)의 거듭제곱으로 바꾸면 계산이 매우 간단해진다. \[ 4=2^2. \] 따라서 \[ 4^{-\frac12} = (2^2)^{-\frac12}. \]

핵심 거듭제곱의 거듭제곱 법칙 \[ (a^m)^n=a^{mn} \] 을 이용하면 된다.

2. \(4^{-\frac12}\)를 정리하기

\[ 4^{-\frac12} = (2^2)^{-\frac12} \] 이므로 \[ = 2^{2\cdot(-1/2)}. \] 따라서 \[ \boxed{ 4^{-\frac12}=2^{-1} }. \] 또 음의 지수의 뜻은 \[ a^{-n}=\frac1{a^n} \] 이므로 \[ 2^{-1}=\frac12. \] 즉 \[ 4^{-\frac12} = \frac12. \]

3. 같은 밑끼리 곱하기

원래 식은 \[ 2^{\frac32}\times4^{-\frac12} \] 이므로 \[ 2^{\frac32}\times2^{-1}. \] 같은 밑의 거듭제곱을 곱할 때는 지수를 더한다. \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \] 따라서 \[ 2^{\frac32}\times2^{-1} = 2^{\frac32-1}. \] \[ = 2^{\frac12}. \] 그러므로

최종 정답

\(\boxed{2^{\frac12}}\)

즉 \(\sqrt2\), 따라서 정답은 ④

4. 근호를 이용한 다른 풀이

\[ 2^{\frac32} = 2^{1+\frac12} = 2\sqrt2. \] 또 \[ 4^{-\frac12} = \frac{1}{4^{1/2}} = \frac1{\sqrt4} = \frac12. \] 따라서 \[ 2^{\frac32}\times4^{-\frac12} = 2\sqrt2\times\frac12. \] 즉 \[ \boxed{\sqrt2}. \] 그리고 \[ \sqrt2=2^{1/2} \] 이므로 같은 답이다.

\[ \boxed{ 2^{\frac12}=\sqrt2 } \]

5. 지수법칙을 그림처럼 한눈에 보기

6. 자주 헷갈리는 지수법칙

법칙	내용
같은 밑의 곱	\(a^m a^n=a^{m+n}\)
거듭제곱의 거듭제곱	\((a^m)^n=a^{mn}\)
음의 지수	\(a^{-n}=\frac1{a^n}\)
분수 지수	\(a^{1/n}=\sqrt[n]{a}\)

특히 \[ (a^m)^n \] 에서는 지수를 더하는 것이 아니라 곱한다. 반면 \[ a^m\cdot a^n \] 에서는 지수를 더한다.

7. 한눈에 보는 전체 풀이

단계	핵심 결과
① 밑 통일	\(4=2^2\)
② 거듭제곱	\(4^{-1/2}=(2^2)^{-1/2}=2^{-1}\)
③ 같은 밑의 곱	\(2^{3/2}\cdot2^{-1}=2^{3/2-1}\)
④ 지수 계산	\(\frac32-1=\frac12\)
⑤ 최종 답	\(\boxed{2^{1/2}}\)

8. 이 문제에서 꼭 기억할 핵심

거듭제곱 계산에서는 가능한 한 밑을 하나로 통일하면 계산이 단순해진다. 이번 문제에서는 \[ 4=2^2 \] 로 바꾸는 것이 핵심이다.

따라서 \[ 4^{-1/2}=2^{-1} \] 이고 \[ 2^{3/2}\cdot2^{-1} = 2^{1/2} \] 이므로 최종 답은 \[ \boxed{2^{1/2}} \] 이다.